tumblr counter
Modal Mantığın Tarihine Kısa bir Giriş | <a href="http://canbaskent.net">Can Başkent</a>

Can Başkent

logic and the rest...

MODAL MANTIĞIN TARİHİNE KISA BİR GİRİŞ

CAN BAŞKENT

Bu makalede sembolik mantığın heyecan verici sahalarından biri olan modal mantığın tarihine değineceğiz. Mantığın bir çok sahasının mikro-tarihinde olduğu gibi, modal mantığın tarihi de Antik Yunan'a dek rahatlıkla uzatılabilir. Ama yine de modal mantığın tarihinin, kimi diğer mantık sahalarının tarihinden önemli bir farkı var. Modal mantık, bilhassa yirminci yüzyıldan itibaren sadece felsefede değil, matematik başta olmak üzere bir çok kuramsal ve uygulamalı alanda, diğer dallara nazaran daha fazla öne çıkmıştır.

Kuramsal bilgisayar bilimlerinin bir çok sahası (model kontrolü, verifikasyon, temporal mantık, paralel sistemler, yapay zeka), mikro-ekonomi (oyun kuramı), linguistik (sentaks ve semantik), bilişsel bilimler (bilişsel modelleme) modal mantığın sıklıkla ve önemle kullanıldığı sahalar olarak öne çıkmaktadır. Dolayısıyla, bu sahalarda öne çıkan düşüncelerin nasıl belirdiğini tarihsel bir bağlam içerisinde anlayabilmek için, modal mantığın nasıl geliştiğini bilmek önemlidir.

Hemen her formel ve mantıksal sistemde olduğu gibi modal mantığın sistematik incelemesinin tarihi Aristo ile başlamaktadır. Aristo, verili bir önermeyi ele alarak, kimi modaliteler kullanarak, önermenin doğruluk derecesinin değiştirilebildiğini gözlemlemiştir. Bu minvalde, Aristo en temel modalitelerin ayrımını yapmıştır: gerekli ve mümkün önermeler. Örneğin, ‘2+2=4’ önermesinin doğruluğu gerekli bir doğrulukken, ‘uzaylılar vardır’ önermesi ise gerekli değil mümkün bir önermedir. Bir önermenin gerekli olması, o önermenin doğruluk derecesinin değişebileceği koşulların var olamayacağı anlamına gelirken, bir önermenin mümkün olması ise, kimi şartlar ve varsayımlar altında verili önermenin doğrulanabileceği anlamına gelmektedir. Uzaylıların varlığı da, eğer Hawking'in fanatik bir takipçisiyseniz örneğin, mümkündür, ama gerekli değil.

Aristo'nun modaliteler üzerine ortaya koyduğu ilk gözlem meşhur ''Deniz Savaşı Tezi''dir. Düşünürün De Interpretatione adlı eserinde ortaya koyduğu argüman şu şekildedir. Şu iki önermeyi ele alalım.
1. Yarın bir deniz savaşı olacak.
2. Yarın bir deniz savaşı olmayacak.
Tutarlı bir mantıksal sistemde, bu önermelerden sadece bir doğru ve diğeri de yanlıştır. Eğer, birinci önerme şimdi doğruysa, yarın bir deniz savaşının olması gereklidir. Dolayısıyla, yarın bir deniz savaşının olmaması mümkün değildir. Ancak, ikinci önerme, dün ya da dünden önceki her hangi bir gün de doğruydu. Diğer bir deyişle, gelecekle ilgili her önerme geçmişte doğrudur, hatta geçmişte gerekli bir şekilde doğrudur - bu önermelerin geçmişte doğru olmaları gerekmektedir. Dolayısıyla, birinci önerme gerekli bir şekilde doğruysa, ikinci önerme mümkün değildir. Benzer şekilde, ikinci önermenin doğru olduğunu varsayarsak da benzer ve simetrik bir sonuç elde etmekteyiz. Bu çelişki, Aristo'ya göre geleceğin şimdiden belirli olması gibi bir sonuç ortaya koymaktadır. Felsefi manada, özgür irademiz demek ki mantıksal kanunlar tarafından yok sayılmaktadır. Tahmin edilecektir, Aristo'dan sonra bir çok felsefeci bu konuda onlarca çözüm ve yaklaşım geliştirmiştir. Biz burada, bu argümanın tarihsel önemine değinmekle yetinelim sadece. Bu argüman, modalite fikrinin düşünce tarihinde ilk ortaya çıktığı yerdir. Her ne kadar bu paradoksun tarihi Aristo öncesi döneme dek götürülebilse de, ilk sistematik incelemenin Aristo tarafından yapılmış olması dikkate değerdir.

Ayrıca, fark edilecektir, Aristo'nun tartıştığımız örneğinde, gereklilik ve mümkünat zaman mevhumu üzerinden okunmaktadır. Dolayısıyla, zamansal kipler de birer modalite olarak ele alınabilir. Bu bağlamda, yeri gelmişken belirtelim: zamasal (bugün, yarın, geçmişte, gelecekte, -den beri, -e dek), deontik (... zorunludur, ...'a izin vardır, ... yasaktır), epistemik kipler(... 'i biliyorum, .... 'e inanıyorum) de birer modalitedir. Zira, örneğin, nasıl bir önermenin doğru olması, bu önermenin bilineceği anlamına gelmiyorsa, bir önermenin kendisi (p) ve o önermeyi bilmek (p'yi biliyorum), farklı doğruluk değerlerine sahip iki önermedir. Fizikteki sicim kuramının bir çok doğru önermesi vardır ve maalesef ben bunların hiç birini bilmiyorum, örneğinden görülebileceği gibi.

Modal mantığın diğer büyük sıçraması skolastik ortaçağda yaşanmıştır. Hıristiyan düşünürlerin, teolojinin kimi problemlerine yaklaşırken modal mantığın gereçlerini kullanması, sahaya yönelik ilgiyi artırmıştır. Boethius’un Aristoteles’in silojistik türetmelerini modal zemine taşımaya çalışmasıyla başlayan bu dönem, modal mantığın matematiksel değil de felsefi ve teolojik uygulamalarının yoğun olarak araştırıldığı bir dönem olmuştur. Bu bağlamda Abelard ve Ockham ilk akla gelen teolojik modal mantıkçılardır. Diğer cephede de İbn Sina’nın modal mantık üzerine yazdığı kısa bir yorumun yanında, İbn Rüşd’ün, tahminlerinizi yanıltmayacak bir şekilde, Aristoteles’in eserleri üzerinden geliştirdiği anlamlı bir modal mantık yaklaşımı da mevcuttur.

İlerleyen yıllarda hem bir matematikçi, hem de bir felsefeci ve hukukçu olan Leibniz, modalite kavramını net bir kavramsallaşmayla sunmuştur. ‘Mümkün dünyalar semantiği’ diyeceğimiz bu yaklaşım, 20. yüzyıldan itibaren getirdiği matematiksel netlik nedeniyle çok popüler olacaktır. Peki Leibniz’in sunduğu berraklık neydi? Leibniz, ontoloji üzerine yazdığı bir eserde ‘dünyamızın mümkün olabilecek en iyi dünya’ olduğunu öne sürmesi, mümkün dünyalar semantiği adı verilen matematiksel ve felsefi kurgunun oluşmasını sağlamıştır. Açıklayalım. Leibniz, bizim dünyamızın en iyi dünya olduğunu kurgularken, benzer şekilde, kimi başka dünyaların da, fikri olarak en azından, var olabileceğini var saymıştır. Diğer bir deyişle, bir çok ‘dünya’ var olabilir: kimi sıcaktır belki, kimi fazla soğuk; kimi küçük, kimi de büyüktür belki. Tüm bu ‘mümkünat’ arasında, bizim dünyamız en iyisidir. Dolayısıyla, ontolojik olarak bir dünyada var olabilmemiz, başka dünyaların da var olabileceğini olumlamaktadır. Leibniz, bir hukukçu (da) olması nedeniyle, bu yaklaşımını deontolojik meselelere dahi uyarlamıştır.

Öte yandan, mümkün dünyalar semantiği modal mantıkta oldukça önemlidir, zira kim bilir belki o başka dünyalarda bazı önermeler doğru, bazı önermeler yanlıştır. Örneğin, yer çekimi ivmesi Dünya’da yaklaşık 10 m/s2 iken, Güneş’te 274 m/s2, Plüton’da 0.6 m/s2‘dir. Dolayısıyla ‘yer çekim ivmesi 10 m/s2’ önermesi her dünyada, her yerde doğru değildir. Dünya gezegeninde doğruyken, Plüton’da doğru değildir. Mümkün dünyalar, bize doğruluk değerlerinin farklı olabildiği modeller oluşturma imkanı vermektedir. Bu yaklaşım, değindik, yirminci yüzyıldaki modal mantık deviriminde epey önem taşıyacak. Leibniz’in de dediği gibi ‘modal önermeler, mantığın belki de en iyi meyvelerinden biridir’. Fakat, gelin görün ki, mantığın bu güzel meyvesi, 1900’lü yılların başına dek kış uykusuna yatacaktır.

Modern modal mantığın ortaya çıkışı ise yirminci yüzyılın başında Amerikalı matematikçi C. I. Lewis'in klasik mantıktaki ''ise'' bağlacıyla ilgili yaptığı çalışmalara dek gitmektedir. Sonrasında, Berkeley mantık ekolünün Lewis'in çalışmaları üzerine eğilmesi neticesinde, bilhassa Tarski liderliğinde cebir ve topoloji alanındaki kimi araştırmaların mantıksal bir yaklaşımla çözümlenmesi matematiksel modal mantığın ivme kazanmasını sağlamıştır. Bir yandan da Ruth Barcan’ın (o yılların nadir kadın mantıkçılarındandır), birinci derece modal mantığı oluşturmaya çalışması, modal mantığın matematiksel saygınlığını artırmasında önemli bir rol sahibi olmuştur. 1940‘ler ve 1950‘lerde modal mantığa cebirsel yaklaşımlar, 1959‘daki bir devrimle sarsılmıştır.

Kaliforniya’da mantığa cebirsel yaklaşımlar hızla sürerken, Avrupa’da da 1930‘larda modal mantık apayrı bir yaklaşımla inceleniyordu. Geliştirdiği eksiklik teoremleriyle, mantığı sarsan Avusturyalı mantıkçı Kurt Gödel, 1933’te yayınladığı bir makalede, ‘ispatlanabilirlik’ kavramını bir modalite olarak ele alır. Yazının başında değindiğimiz zorunlu/mümkün modalitelere artık başka bir modalite daha eklenmiştir. İspatlanabilirlik modalitesi, bir önermenin mantıksal bir sistemde ispatlanabilir olduğunu ifade etmekte ve mantığa ispat kuramından yaklaşmanın önünü açmaktadır. Bununla beraber, sezgisel (intuitionistic) matematiğin ve mantığın, modal mantığa girmesini de sağlamıştır Gödel. Kısaca açıklayalım. Sezgisel matematik, matematiksel gerçeklerin inşa edilerek, yani doğrudan ispatlanarak oluşturulması gerektiğini öne sürer. Bu nedenle, olmayana ergi yöntemini dışlar. Mantık zemininde de olmayana erginin dengi olan kuralları dışlar ve farklı bir mantıksal sistem inşa eder. Gödel’in bu konudaki katkısı, sezgisel mantığı, modal mantıkla mükemmel bir şekilde birleştirmesi, aralarındaki ilişkiyi berrak ve net bir şekilde ortaya koymak olmuştur. Biraz önce değindiğimiz 1959 modal mantık devrimi, Gödel’in katkıları dahil olmak üzere modal mantığın bir çok kavramının, basit ve doğal bir bağlama oturtmuştur.

Sembolik mantığın en önemli akademik dergilerinden birinde 1959 yılında, kimsenin adını duymadığı bir genç olan Saul Kripke’nin kısa bir makalesi yayınlanır. Bu makalede Kripke, modal mantığın mümkün dünyalar semantiğini matematikleştirir. Bu mümkün dünyalar arasında bir bağıntı tanımlayarak, hangi dünyanın hangi diğer dünyalar için mümkün olduğunu tanımlar. Diğer bir ifadeyle, şu anda bulunduğumuz dünyada neyin mümkün olduğunu formelize eder bu model. Basit bir örnekle açıklayabiliriz. Örneğin, on yaşındaki bir çocuk için Einstein’in Görelilik Kuramının geçerli olduğu mental bir dünya yoktur, zira çocuğun bu kuramı bilme ihtimali yok denecek kadar azdır. Her ne kadar Kuram var olsa da, sözü edilen çocuk için mümkün bir dünya değildir. Öte yandan bir fizikçi için, bu mümkün dünyadır. Dolayısıyla, Kripke’nin yaklaşımı farklı farklı modalitelerin ontolojisine de berraklık getirmektedir.

Kripke’nin sunduğu modelde kullandığı bağıntıyı çok kolay bir şekilde temsil etmek mümkün. Hatırlayalım, (ikili) bağıntı, bir kümenin kendisiyle kartezyen çarpının bir alt kümesidir. Bu nedenle, bir yönlü çizge (directed graph) ile temsil edilebilir. Bu minvalde, Kripke modelleri, yönlü bir çizge üzerinde tanımlanan mantıksal modellerdir. Bu çizgenin noktaları, mümkün dünyaları sembolize ederken, çizgenin okları da bağıntıyı sembolize eder. Bunlara ilaveten, her noktada/dünyada, hani önermenin doğru olduğunu belirtirsek, elimizde mantıksal bir model olacaktır. Bu, bir Kripke modelidir.

Kripke modelinin basitliği ve yalınlığı, modal mantığın çok ivedi bir şekilde gelişmesine neden olmuştur. Zira, felsefeciler artık, derin bir matematik bilgisi gerekmeden, modal mantığın kuramsal çözümlemelerine vakıf olabilmiş, formel gereçleri daha kolay bir şekilde kullanabilmeye başlamışlardır. Örneğin, Quine’ın öğrencilerinden David Lewis, modal mantığı kimi dil felsefesi sorunlarına uyarlamış, oyun kuramından tutun da dilbilime kadar sarsıcı katkılarda bulunmuştur. Benzer şekilde Carnap da modalite kavramına Kripke gibi mümkün dünyalar semantiğiyle yaklaşmış, ancak Kripke gibi yalın bir model geliştirememiştir. Kripke ise ilerleyen yıllarda modalite kavramını dil felsefesine çığır açıcı bir şekilde uyarlamıştır. Belki de bu nedenle, doktorasını bitirme gereği bile görmemiştir (kendisi, doktorası olmamasına rağmen City University of New York’ta halen Ayrıcalıklı Profesör’dür).

Modal mantığın 60‘lardan sonra sıçrama yapmasındaki diğer bir başlıca neden de, bilgisayar bilimlerindeki devrimlerdir. Gerek mühendislik zemininde gerekse kuramsal zeminde bilgisayar bilimlerinin gelişmesi, modal mantığa önceden tahmin edilemeyen bir çok uygulama sahası açmıştır. Epistemik mantık ve temporal mantık bu uygulamaların başlıcalarındandır.

Bu minvalde hesaplama kuramının kimi temel kavramlarının modal mantık çerçevesinde analiz edilmesi, kümeler kuramındaki zorlama (forcing) işleminin modal mantıksal analizinin sunulması, homeomorfizma ve homotopilerin de modal mantıkta kullanılmaya başlanması gibi kimi diğer matematik sahalarından ithal edilen kavramların matematiksel modal mantığa dahil olması, bu sahanın genişlemesini ve gelişmesini hızlandırmıştır.

Kısaca bağlayalım. Modal mantığın mikro tarihinin bir çok heyecan verici sahası var. Biz bu yazıda, muhakkak bir çok eksiğe rağmen, kimilerine kısaca değindik. Elbette, tarihten öğrenilecek bir çok perspektif var. Özellikle ortaçağ mantığının (gerek Hıristiyan gerekse İslami) beklenenden çok daha gelişmiş olmasının nedenleri, modern mantığın yarattığı matematiksel kopuş ve sonrasında Gödel’le tekrar felsefi mantığın yüceltilmesi, örneğin, bu heyecan verici konulardan bazılarıdır. Umuyoruz ki, bu konuların yarattığı heyecan kimi okurların uykusuz gözlerle kütüphanede sabahlamalarına yol açabilecektir!

Kaynakça

Sergei Artemov, Modal Logic in Mathematics, Handbook of Modal Logic, Patrick Blackburn, Johan van Benthem ve Frank Wolter (editörler), Elsevier.
Dov Gabbay, John Woods (editörler), Handbook of History of Logic, cilt 2-3, Elsevier
Robert Goldblatt, Mathematical Modal Logic: A View of Its Evolution, Handbook of History of Logic, vol. 6, Dov Gabbay ve John Woods (editörler), Elsevier.
Smith, Robin, Aristotle's Logic, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Edward N. Zalta (editör)
Krister Segerberg, Robert Bull, Basic Modal Logic, Handbook of Philosophical Logic, Second Edition, volume 3, Dov Gabbay, F. Guenther (editör), Kluwer.